مقالات

5.1: المساحات والمسافات - الرياضيات


أهداف التعلم

  • استخدم تدوين سيجما (الجمع) لحساب مجاميع وقوى الأعداد الصحيحة.
  • استخدم مجموع المساحات المستطيلة لتقريب المساحة الواقعة أسفل منحنى.
  • استخدم مجموع ريمان لتقريب المساحة.

أرخميدس كان مفتونًا بحساب مساحات الأشكال المختلفة - بمعنى آخر ، مقدار المساحة التي يحيط بها الشكل. لقد استخدم عملية أصبحت تُعرف باسم طريقة استنفاد، والتي تستخدم أشكالًا أصغر وأصغر ، يمكن حساب مساحاتها بدقة ، لملء منطقة غير منتظمة وبالتالي الحصول على تقديرات تقريبية أقرب وأقرب إلى المساحة الإجمالية. في هذه العملية ، يتم تعبئة المنطقة التي تحدها المنحنيات بالمستطيلات والمثلثات والأشكال بصيغ المساحة الدقيقة. يتم بعد ذلك جمع هذه المناطق لتقريب مساحة المنطقة المنحنية.

في هذا القسم ، نطور تقنيات لتقريب المنطقة الواقعة بين منحنى ، محددة بواسطة دالة (f (x) ، ) والمحور x على فاصل مغلق ([a، b]. ) مثل أرخميدس ، نقوم أولاً بتقريب المساحة الواقعة أسفل المنحنى باستخدام أشكال منطقة معروفة (أي المستطيلات). باستخدام مستطيلات أصغر وأصغر ، نقترب أكثر فأكثر من المنطقة. يسمح لنا أخذ حد بحساب المساحة الدقيقة أسفل المنحنى.

لنبدأ بإدخال بعض الرموز لتسهيل العمليات الحسابية. ثم نأخذ في الاعتبار الحالة عندما يكون (f (x) ) مستمرًا وغير سالب. لاحقًا في الفصل ، نخفف بعض هذه القيود ونطور تقنيات تنطبق في الحالات الأكثر عمومية.

تدوين سيجما (التلخيص)

كما ذكرنا ، سوف نستخدم أشكال منطقة معروفة لتقريب مساحة منطقة غير منتظمة تحدها منحنيات. تتطلب هذه العملية غالبًا إضافة سلاسل طويلة من الأرقام. لتسهيل كتابة هذه المبالغ الطويلة ، نلقي نظرة على بعض الرموز الجديدة هنا ، تسمى تدوين سيجما (المعروف أيضًا باسم تدوين الجمع). يستخدم الحرف اليوناني الكبير (Σ ) ، سيجما ، للتعبير عن مجموعات طويلة من القيم في شكل مضغوط. على سبيل المثال ، إذا أردنا إضافة جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى 20 بدون تدوين سيجما ، فعلينا أن نكتب

[1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20.]

ربما يمكننا تخطي كتابة اثنين من المصطلحات والكتابة

[1+2+3+4+⋯+19+20,]

أيهما أفضل ، لكنه لا يزال مرهقًا. باستخدام تدوين سيجما ، نكتب هذا المجموع كـ

[ sum_ {i = 1} ^ {20} i ]

وهو أكثر إحكاما. عادة ، يتم تقديم تدوين سيجما في النموذج

[ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i ]

حيث يصف (a_i ) المصطلحات المراد إضافتها ، ويسمى (i ) (الفهرس ). يتم تقييم كل مصطلح ، ثم نجمع كل القيم ، بدءًا من القيمة عند (i = 1 ) وتنتهي بالقيمة عند (i = n. ) على سبيل المثال ، تعبير مثل ( displaystyle sum_ {i = 2} ^ {7} s_i ) يتم تفسيره على أنه (s_2 + s_3 + s_4 + s_5 + s_6 + s_7 ). لاحظ أن الفهرس يُستخدم فقط لتتبع المصطلحات المراد إضافتها ؛ لا يدخل في حساب المجموع نفسه. لذلك يسمى الفهرس a متغير وهمي. يمكننا استخدام أي حرف نريده للفهرس. عادةً ما يستخدم علماء الرياضيات (i و و j و و k و و m ) و (n ) للمؤشرات.

لنجرب مثالين لاستخدام تدوين سيجما.

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام تدوين سيجما

  1. اكتب تدوين سيجما وقم بتقييم مجموع المصطلحات (3 ^ i ) لـ (i = 1،2،3،4،5. )
  2. اكتب المجموع في تدوين سيجما:

[1+ dfrac {1} {4} + dfrac {1} {9} + dfrac {1} {16} + dfrac {1} {25}. لا يوجد رقم]

حل

  1. اكتب [ sum_ {i = 1} ^ {5} 3 ^ i = 3 + 3 ^ 2 + 3 ^ 3 + 3 ^ 4 + 3 ^ 5 = 363. لا يوجد رقم]
  2. مقام كل حد مربع كامل. باستخدام تدوين سيجما ، يمكن كتابة هذا المجموع كـ ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ 5 dfrac {1} {i ^ 2} ).

تمرين ( PageIndex {1} )

اكتب تدوين سيجما وقم بتقييم مجموع المصطلحات (2 ^ i ) لـ (i = 3،4،5،6. )

تلميح

استخدم خطوات الحل في المثال ( PageIndex {1} ) كدليل.

إجابه

( displaystyle sum_ {i = 3} ^ {6} 2 ^ i = 2 ^ 3 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 + 2 ^ 6 = 120 )

الخصائص المرتبطة بعملية الجمع معطاة في القاعدة التالية.

القاعدة: خصائص تدوين سيجما

لنفترض أن (a_1، a_2، ...، a_n ) و (b_1، b_2، ...، b_n ) يمثلان متتاليين من المصطلحات ولجعل (c ) ثابتًا. تحتوي الخصائص التالية على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة (n ) وللأعداد الصحيحة (م ) ، مع (1≤m≤n. )

  1. (displaystyle sum_ {i = 1} ^ n c = nc)
  2. ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ n ca_i = c sum_ {i = 1} ^ na_i )
  3. ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ n (a_i + b_i) = sum_ {i = 1} ^ na_i + sum_ {i = 1} ^ nb_i )
  4. ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ n (a_i − b_i) = sum_ {i = 1} ^ na_i− sum_ {i = 1} ^ nb_i )
  5. ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ na_i = sum_ {i = 1} ^ ma_i + sum_ {i = m + 1} ^ na_i )

دليل

نثبت الخصائص 2. و 3. هنا ، ونترك إثباتًا على الخصائص الأخرى للتمارين.

2. لدينا

[ sum_ {i = 1} ^ nca_i = ca_1 + ca_2 + ca_3 + ⋯ + ca_n = c (a_1 + a_2 + a_3 + ⋯ + a_n) = c sum_ {i = 1} ^ na_i. ]

3. لدينا

[ start {align} sum_ {i = 1} ^ {n} (a_i + b_i) & = (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) + (a_3 + b_3) + ⋯ + (a_n + b_n) [4pt] & = (a_1 + a_2 + a_3 + ⋯ + a_n) + (b_1 + b_2 + b_3 + ⋯ + b_n) [4pt] & = sum_ {i = 1} ^ na_i + sum_ {i = 1 } ^ nb_i. نهاية {محاذاة} ]

هناك عدد قليل من الصيغ للوظائف التي يتم العثور عليها بشكل متكرر لتبسيط عملية الجمع بشكل أكبر. هذه موضحة في القاعدة التالية ، لـ مبالغ وقوى الأعداد الصحيحة، ونستخدمها في المجموعة التالية من الأمثلة.

القاعدة: مبالغ الأعداد الصحيحة وسلطاتها

1. مجموع (n ) الأعداد الصحيحة مُعطى بواسطة

[ sum_ {i = 1} ^ n i = 1 + 2 + ⋯ + n = dfrac {n (n + 1)} {2}. التسمية {sum1} ]

2. مجموع تربيع الأعداد الصحيحة معطى من قبل

[ sum_ {i = 1} ^ n i ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ⋯ + n ^ 2 = dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}. التسمية {sum2} ]

3. مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية تكعيب معطى بواسطة

[ sum_ {i = 1} ^ n i ^ 3 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + ⋯ + n ^ 3 = dfrac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2} {4}. التسمية {sum3} ]

مثال ( PageIndex {2} ): التقييم باستخدام تدوين Sigma

اكتب باستخدام تدوين سيجما وتقييم:

  1. مجموع المصطلحات ((i − 3) ^ 2 ) لـ (i = 1،2،…، 200. )
  2. مجموع المصطلحات ((i ^ 3 − i ^ 2) ) لـ (i = 1،2،3،4،5،6 )

حل

أ. بضرب ((i − 3) ^ 2 ) ، يمكننا تقسيم التعبير إلى ثلاثة حدود.

[ begin {align *} sum_ {i = 1} ^ {200} (i − 3) ^ 2 & = sum_ {i = 1} ^ {200} (i ^ 2−6i + 9) [4 نقطة]
& = sum_ {i = 1} ^ {200} i ^ 2− sum_ {i = 1} ^ {200} 6i + sum_ {i = 1} ^ {200} 9 [4pt]
& = sum_ {i = 1} ^ {200} i ^ 2−6 sum_ {i = 1} ^ {200} i + sum_ {i = 1} ^ {200} 9 [4pt]
& = dfrac {200 (200 + 1) (400 + 1)} {6} −6 left [ dfrac {200 (200 + 1)} {2} right] +9 (200) [4pt ]
& = 2،686،700−120،600 + 1800 [4pt]
& = 2567900 نهاية {محاذاة *} ]

ب. استخدام خاصية تدوين سيجما رابعا. وقواعد مجموع الحدود التربيعية ومجموع الحدود المكعبة.

[ begin {align *} sum_ {i = 1} ^ {6} (i ^ 3 − i ^ 2) & = sum_ {i = 1} ^ 6 i ^ 3− sum_ {i = 1} ^ 6 i ^ 2 [4pt]
& = dfrac {6 ^ 2 (6 + 1) ^ 2} {4} - dfrac {6 (6 + 1) (2 (6) +1)} {6} [4pt]
& = dfrac {1764} {4} - dfrac {546} {6} [4pt]
& = 350 end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد مجموع قيم (4 + 3i ) لـ (i = 1،2 ، ... ، 100. )

تلميح

استخدم خصائص تدوين سيجما لحل المشكلة.

إجابه

(15,550)

مثال ( PageIndex {3} ): إيجاد مجموع قيم الدالة

أوجد مجموع قيم (f (x) = x ^ 3 ) على الأعداد الصحيحة (1،2،3 ، ... ، 10. )

حل

باستخدام المعادلة المرجع {sum3} ، لدينا

[ sum_ {i = 0} ^ {10} i ^ 3 = dfrac {(10) ^ 2 (10 + 1) ^ 2} {4} = dfrac {100 (121)} {4} = 3025 لا يوجد رقم]

تمرين ( PageIndex {3} )

احسب المجموع المشار إليه بالرمز ( displaystyle sum_ {k = 1} ^ {20} (2k + 1) ).

تلميح

استخدم قاعدة مجموع وقوى الأعداد الصحيحة (المعادلات المرجع {sum1} - المرجع {sum3}).

إجابه

(440)

منطقة التقريب

الآن بعد أن أصبح لدينا الترميز الضروري ، سنعود إلى المسألة المطروحة: تقريب المساحة الواقعة أسفل المنحنى. لنفترض أن (f (x) ) دالة مستمرة وغير سالبة محددة في الفاصل الزمني المغلق ([a، b] ). نريد تقريب المنطقة (أ ) التي يحدها (و (س) ) أعلاه ، والمحور (س ) أدناه ، والخط (س = أ ) على اليسار ، والخط (x = b ) على اليمين (الشكل ( PageIndex {1} )).

كيف نقرب المساحة الواقعة تحت هذا المنحنى؟ النهج هو نهج هندسي. من خلال تقسيم المنطقة إلى العديد من الأشكال الصغيرة التي لها صيغ المنطقة المعروفة ، يمكننا تلخيص هذه المناطق والحصول على تقدير معقول للمساحة الحقيقية. نبدأ بتقسيم الفاصل ([a، b] ) إلى (n ) فترات فرعية متساوية العرض ، ( dfrac {b − a} {n} ). نقوم بذلك عن طريق تحديد نقاط متباعدة بشكل متساوٍ (x_0 ، x_1 ، x_2 ، ... ، x_n ) مع (x_0 = a ، x_n = b ، ) و

[x_i − x_ {i − 1} = dfrac {b − a} {n} ]

لـ (i = 1،2،3 ، ... ، n. )

نشير إلى عرض كل فترة فرعية بالتدوين (Δx، ) لذا (Δx = frac {b − a} {n} ) و

[x_i = x_0 + iΔx ]

من أجل (i = 1،2،3 ، ... ، n. ) يتم استخدام فكرة تقسيم الفاصل ([a ، b] ) إلى فترات فرعية عن طريق تحديد النقاط من داخل الفاصل الزمني في كثير من الأحيان لتقريب المنطقة الواقعة أسفل منحنى ، لذلك دعونا نحدد بعض المصطلحات ذات الصلة.

التعريف: أقسام

مجموعة من النقاط (P = {x_i} ) لـ (i = 0،1،2،…، n ) مع (a = x_0 تقسيم من ([أ ، ب] ). إذا كانت جميع الفترات الفرعية لها نفس العرض ، فإن مجموعة النقاط تشكل أ قسم عادي (أو قسم موحد) للفاصل ([a، b]. )

يمكننا استخدام هذا التقسيم العادي كأساس لطريقة لتقدير المساحة أسفل المنحنى. ندرس بعد ذلك طريقتين: تقريب نقطة النهاية اليسرى وتقريب نقطة النهاية اليمنى.

القاعدة: تقريب نقطة النهاية اليسرى

في كل فترة فرعية ([x_ {i − 1}، x_i] ) (بالنسبة إلى (i = 1،2،3 ، ... ، n )) ، قم بإنشاء مستطيل بعرض (Δx ) وارتفاع يساوي (f (x_ {i − 1}) ) ، وهي قيمة الوظيفة عند نقطة النهاية اليسرى للفاصل الزمني الفرعي. إذن مساحة هذا المستطيل هي (f (x_ {i − 1}) Δx ). بإضافة مساحات كل هذه المستطيلات ، نحصل على قيمة تقريبية لـ (A ) (الشكل ( PageIndex {2} )). نستخدم الترميز (L_n ) للإشارة إلى أن هذا ملف تقريب نقطة النهاية اليسرى من (A ) باستخدام (n ) فترات فرعية.

[A≈L_n = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + ⋯ + f (xn − 1) Δx = sum_ {i = 1} ^ nf (x_ {i − 1}) Δx ]

الطريقة الثانية لتقريب المنطقة الواقعة أسفل المنحنى هي تقريب نقطة النهاية اليمنى. إنه تقريبًا نفس تقريب نقطة النهاية اليسرى ، ولكن يتم الآن تحديد ارتفاعات المستطيلات بواسطة قيم الوظيفة الموجودة على يمين كل فترة فرعية.

القاعدة: تقريب نقطة النهاية اليمنى

أنشئ مستطيلًا على كل فترة فرعية ([x_ {i − 1}، x_i] ) ، هذه المرة فقط يتم تحديد ارتفاع المستطيل بواسطة قيمة الوظيفة (f (x_i) ) عند نقطة النهاية اليمنى للفاصل الزمني الفرعي . بعد ذلك ، تكون مساحة كل مستطيل هي (f (x_i) ، Δx ) ويتم إعطاء تقريب (A ) بواسطة

[A≈R_n = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + ⋯ + f (x_n) Δx = sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) Δx. ]

يشير الترميز (R_n ) إلى أن هذا ملف تقريب نقطة النهاية اليمنى لـ (A ) (الشكل ( PageIndex {3} )).

تمثل الرسوم البيانية في الشكل ( PageIndex {4} ) المنحنى (f (x) = dfrac {x ^ 2} {2} ). في الشكل ( PageIndex {4b} ) نقسم المنطقة الممثلة بالفاصل ([0،3] ) إلى ستة فترات فرعية ، كل منها بعرض (0.5 ). وهكذا ، (Δx = 0.5 ). ثم نشكل ستة مستطيلات برسم خطوط عمودية متعامدة مع (x_ {i − 1} ) ، نقطة النهاية اليسرى لكل فترة فرعية. نحدد ارتفاع كل مستطيل عن طريق حساب (f (x_ {i − 1}) ) لـ (i = 1،2،3،4،5،6. ) الفواصل الزمنية هي ([0،0.5 ] ، [0.5،1] ، [1،1.5] ، [1.5،2] ، [2،2.5] ، [2.5،3] ). نحسب مساحة كل مستطيل بضرب الارتفاع في العرض. بعد ذلك ، يقارب مجموع المساحات المستطيلة المساحة الواقعة بين (f (x) ) والمحور (x ). عندما يتم استخدام نقاط النهاية اليسرى لحساب الارتفاع ، يكون لدينا تقريب نقطة النهاية اليسرى. هكذا،

[ start {align *} A≈L_6 & = sum_ {i = 1} ^ 6f (x_ {i − 1}) Δx = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + و (x_3) Δx + f (x_4) Δx + f (x_5) Δx [4pt]
& = f (0) 0.5 + f (0.5) 0.5 + f (1) 0.5 + f (1.5) 0.5 + f (2) 0.5 + f (2.5) 0.5 [4pt]
& = (0) 0.5+ (0.125) 0.5+ (0.5) 0.5+ (1.125) 0.5+ (2) 0.5+ (3.125) 0.5 [4pt]
& = 0 + 0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1 + 1.5625 [4pt]
& = 3.4375 ، text {Units} ^ 2 end {align *} ]

في الشكل ( PageIndex {4b} ) ، نرسم خطوطًا عمودية متعامدة على (x_i ) بحيث تكون (x_i ) هي نقطة النهاية اليمنى لكل فترة فرعية ، ونحسب (f (x_i) ) لـ (أنا = 1،2،3،4،5،6 ). نضرب كل (f (x_i) ) في (Δx ) لإيجاد المساحات المستطيلة ، ثم نضيفها. هذا تقريب لنقطة النهاية اليمنى للمنطقة الواقعة تحت (f (x) ). هكذا،

[ start {align *} A≈R_6 & = sum_ {i = 1} ^ 6f (x_i) Δx = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx + f (x_4) Δx + f (x_5) Δx + f (x_6) Δx [4pt]
& = f (0.5) 0.5 + f (1) 0.5 + f (1.5) 0.5 + f (2) 0.5 + f (2.5) 0.5 + f (3) 0.5 [4pt]
& = (0.125) 0.5+ (0.5) 0.5+ (1.125) 0.5+ (2) 0.5+ (3.125) 0.5+ (4.5) 0.5 [4pt]
& = 0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1 + 1.5625 + 2.25 [4pt]
& = 5.6875 ، text {Units} ^ 2. end {align *} ]

مثال ( PageIndex {4} ): تقريب المنطقة الواقعة أسفل منحنى

استخدم تقريب نقطة النهاية اليسرى ونقطة النهاية اليمنى لتقريب المنطقة الواقعة أسفل منحنى (f (x) = x ^ 2 ) على الفاصل ([0،2] ) ؛ استخدم (n = 4 ).

حل

أولاً ، قسّم الفاصل ([0،2] ) إلى (n ) فترات فرعية متساوية. باستخدام (n = 4، ، Δx = dfrac {(2−0)} {4} = 0.5 ). هذا هو عرض كل مستطيل. الفواصل الزمنية ([0،0.5] ، [0.5،1] ، [1،1.5] ، [1.5،2] ) موضحة في الشكل ( PageIndex {5} ). باستخدام تقريب نقطة النهاية اليسرى ، تكون الارتفاعات (f (0) = 0 ، ، f (0.5) = 0.25 ، ، f (1) = 1 ، ) و (f (1.5) = 2.25. ) ثم،

[ start {align *} L_4 & = f (x_0) )x + f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx [4pt] & = 0 (0.5) +0.25 (0.5) +1 (0.5) +2.25 (0.5) [4pt] & = 1.75 ، text {Units} ^ 2 end {align *} ]

يتم عرض تقريب نقطة النهاية اليمنى في الشكل ( PageIndex {6} ). الفواصل الزمنية هي نفسها ، (Δx = 0.5، ) ولكن الآن استخدم نقطة النهاية اليمنى لحساب ارتفاع المستطيلات. نحن لدينا

[ start {align *} R_4 & = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx + f (x_4) Δx [4pt] & = 0.25 (0.5) +1 (0.5) +2.25 (0.5) +4 (0.5) [4pt] & = 3.75 ، text {Units} ^ 2 end {align *} ]

تقريب نقطة النهاية اليسرى هو (1.75 ، text {Units} ^ 2 )؛ تقريب نقطة النهاية اليمنى هو (3.75 ، نص {وحدات} ^ 2 ).

تمرين ( PageIndex {4} )

رسم تقريب لنقطة النهاية اليسرى ونقطة النهاية اليمنى لـ (f (x) = dfrac {1} {x} ) on ([1،2] ) ؛ استخدم (n = 4 ). تقريب المنطقة باستخدام كلتا الطريقتين.

تلميح

اتبع استراتيجية الحل في المثال ( PageIndex {4} ) خطوة بخطوة.

إجابه

تقريب نقطة النهاية اليسرى هو (0.7595 ، text {Units} ^ 2 ). تقريب نقطة النهاية اليمنى هو (0.6345 ، نص {وحدات} ^ 2 ). انظر أدناه وسائل الإعلام.

بالنظر إلى الشكل ( PageIndex {4} ) والرسوم البيانية في المثال ( PageIndex {4} ) ، يمكننا أن نرى أنه عندما نستخدم عددًا صغيرًا من الفواصل الزمنية ، فلا تقريب نقطة النهاية اليسرى ولا الزاوية اليمنى- تقريب نقطة النهاية هو تقدير دقيق بشكل خاص للمنطقة الواقعة أسفل المنحنى. ومع ذلك ، يبدو من المنطقي أنه إذا قمنا بزيادة عدد النقاط في قسمنا ، فإن تقديرنا لـ (A ) سيتحسن. سيكون لدينا المزيد من المستطيلات ، لكن كل مستطيل سيكون أرق ، لذلك سنتمكن من ملاءمة المستطيلات مع المنحنى بشكل أكثر دقة.

يمكننا توضيح التقريب المحسن الذي تم الحصول عليه من خلال فترات زمنية أصغر بمثال. دعنا نستكشف فكرة زيادة (n ) ، أولاً في تقريب نقطة النهاية اليسرى بأربعة مستطيلات ، ثم ثمانية مستطيلات ، وأخيراً (32 ) مستطيلات. بعد ذلك ، لنفعل الشيء نفسه في تقريب نقطة النهاية اليمنى ، باستخدام نفس مجموعات الفواصل ، لنفس المنطقة المنحنية. يوضح الشكل ( PageIndex {7} ) منطقة المنطقة الواقعة أسفل المنحنى (f (x) = (x − 1) ^ 3 + 4 ) على الفاصل ([0،2] ) باستخدام تقريب نقطة النهاية اليسرى حيث (n = 4. ) عرض كل مستطيل هو

[Δx = dfrac {2−0} {4} = dfrac {1} {2}. nonumber ]

يتم تقريب المنطقة بالمساحات المجمعة من المستطيلات ، أو

[L_4 = f (0) (0.5) + f (0.5) (0.5) + f (1) (0.5) + f (1.5) 0.5 = 7.5 ، text {Units} ^ 2 nonumber ]

يوضح الشكل ( PageIndex {8} ) نفس المنحنى مقسمًا إلى ثمانية فترات فرعية. بمقارنة الرسم البياني بأربعة مستطيلات في الشكل ( PageIndex {7} ) بهذا الرسم البياني الذي يحتوي على ثمانية مستطيلات ، يمكننا أن نرى أنه يبدو أن هناك مساحة بيضاء أقل أسفل المنحنى عندما (n = 8. ) هذه المساحة البيضاء هي منطقة أسفل المنحنى لا يمكننا تضمينها باستخدام تقريبنا. مساحة المستطيلات هي

[L_8 = f (0) (0.25) + f (0.25) (0.25) + f (0.5) (0.25) + f (0.75) (0.25) + f (1) (0.25) + f (1.25) (0.25) ) + f (1.5) (0.25) + f (1.75) (0.25) = 7.75 ، text {Units} ^ 2 nonumber ]

يوضح الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {9} ) نفس الوظيفة مع (32 ) مستطيلات منقوشة أسفل المنحنى. يبدو أنه لم يتبق سوى القليل من المساحة البيضاء. المساحة التي تحتلها المستطيلات هي

[L_ {32} = f (0) (0.0625) + f (0.0625) (0.0625) + f (0.125) (0.0625) + ⋯ + f (1.9375) (0.0625) = 7.9375 ، نص {وحدات} ^ 2. عدد ]

يمكننا تنفيذ عملية مماثلة لطريقة تقريب نقطة النهاية اليمنى. تقريب نقطة النهاية اليمنى لنفس المنحنى ، باستخدام أربعة مستطيلات (الشكل ( PageIndex {10} )) ، ينتج عنه مساحة

[R_4 = f (0.5) (0.5) + f (1) (0.5) + f (1.5) (0.5) + f (2) (0.5) = 8.5 ، text {Units} ^ 2. nonumber ]

ينتج عن تقسيم المنطقة على الفاصل ([0،2] ) إلى ثمانية مستطيلات (Δx = dfrac {2−0} {8} = 0.25. ) يظهر الرسم البياني في الشكل ( PageIndex { 11} ). المنطقة

[R_8 = f (0.25) (0.25) + f (0.5) (0.25) + f (0.75) (0.25) + f (1) (0.25) + f (1.25) (0.25) + f (1.5) (0.25) ) + f (1.75) (0.25) + f (2) (0.25) = 8.25 ، text {Units} ^ 2 nonumber ]

أخيرًا ، تقريب نقطة النهاية اليمنى مع (n = 32 ) قريب من المنطقة الفعلية (الشكل ( PageIndex {12} )). المنطقة تقريبا

[R_ {32} = f (0.0625) (0.0625) + f (0.125) (0.0625) + f (0.1875) (0.0625) + ⋯ + f (2) (0.0625) = 8.0625 ، text {Units} ^ 2 عدد ]

بناءً على هذه الأرقام والحسابات ، يبدو أننا نسير على الطريق الصحيح. يبدو أن المستطيلات تقارب المساحة الواقعة أسفل المنحنى بشكل أفضل حيث (n ) يكبر. علاوة على ذلك ، كلما زاد (n ) ، يبدو أن تقريب نقطة النهاية اليسرى ونقطة النهاية اليمنى يقترب من مساحة (8 ) وحدات مربعة. يعرض الجدول ( PageIndex {15} ) مقارنة عددية بين طرق نقطة النهاية اليمنى واليسرى. إن الفكرة القائلة بأن التقريبات للمنطقة الواقعة أسفل المنحنى تتحسن بشكل أفضل مع زيادة (n ) زيادة حجمها وأكبرها هي فكرة مهمة للغاية ، ونحن الآن نستكشف هذه الفكرة بمزيد من التفصيل.

الجدول ( PageIndex {15} ): القيم المتقاربة لتقريب نقطة النهاية اليمنى واليسرى مثل (n ) الزيادات
قيمة (n )المساحة التقريبية (L_n )المساحة التقريبية (R_n )
(ن = 4 )(7.5)(8.5)
(ن = 8 )(7.75)(8.25)
(ن = 32 )(7.94)(8.06)

تشكيل مجموع ريمان

حتى الآن ، نستخدم المستطيلات لتقريب المساحة الواقعة أسفل المنحنى. تم تحديد ارتفاعات هذه المستطيلات من خلال تقييم الوظيفة عند نقاط النهاية اليمنى أو اليسرى للفاصل الزمني الفرعي ([x_ {i − 1}، x_i] ). في الواقع ، لا يوجد سبب لقصر تقييم الوظيفة على إحدى هاتين النقطتين فقط. يمكننا تقييم الوظيفة في أي نقطة (x ^ ∗ _ i ) في الفاصل الزمني الفرعي ([x_ {i − 1} ، x_i] ) ، واستخدام (f (x ^ ∗ _ i) ) كالارتفاع من المستطيل لدينا. يعطينا هذا تقديرًا لمساحة الصورة

[A≈ sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) ، Δx. ]

يُطلق على مجموع هذا النموذج اسم Riemann sum ، الذي سمي على اسم عالم الرياضيات برنارد ريمان من القرن التاسع عشر ، الذي طور الفكرة.

التعريف: ريمان سوم

دع (f (x) ) يتم تعريفه على فاصل مغلق ([a، b] ) ولجعل (P ) أي قسم من ([a، b] ). لنفترض أن (Δx_i ) هو عرض كل فاصل زمني فرعي ([x_ {i، 1}، x_i] ) ولكل (i ), دع (x ^ ∗ _ i ) أي نقطة في ([x_ {i − 1} ، ، x_i] ). يتم تعريف مجموع Riemann لـ (f (x) ) على أنه

[ sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) ، Δx_i. ]

في هذه المرحلة ، سنختار قسمًا عاديًا (P ) ، كما هو موضح في الأمثلة أعلاه. يفرض هذا على جميع (Δx_i ) أن تكون مساوية لـ (Δx = dfrac {b-a} {n} ) لأي عدد طبيعي للفواصل الزمنية (n ).

تذكر أنه باستخدام تقريب نقطة النهاية اليمنى واليسرى ، يبدو أن التقديرات تتحسن بشكل أفضل حيث (n ) تصبح أكبر وأكبر. نفس الشيء يحدث مع مبالغ ريمان. تعطي مجاميع Riemann تقديرات تقريبية أفضل للقيم الأكبر لـ (n ). نحن الآن جاهزون لتحديد المنطقة الواقعة تحت المنحنى من حيث مبالغ ريمان.

التعريف: المنطقة الواقعة تحت المنحنى

لنفترض أن (f (x) ) دالة مستمرة وغير سالبة على فاصل زمني ([a، b] ) وليكن ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) ، Δx ) يكون مجموع Riemann لـ (f (x) ) مع قسم عادي (P ). ثم ، المنطقة الواقعة تحت المنحنى (y = f (x) ) في ([a، b] ) مُعطى بواسطة

[A = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) ، Δx. ]

شاهد عرضًا بيانيًا لبناء مجموع ريمان.

بعض التفاصيل الدقيقة هنا تستحق المناقشة. أولاً ، لاحظ أن أخذ حد المجموع يختلف قليلاً عن أخذ حد الدالة (f (x) ) حيث أن (x ) يذهب إلى ما لا نهاية. تمت مناقشة حدود المجاميع بالتفصيل في الفصل الخاص بالمتتابعات والمتسلسلات ؛ ومع ذلك ، في الوقت الحالي يمكننا أن نفترض أن التقنيات الحسابية التي استخدمناها لحساب حدود الوظائف يمكن أيضًا استخدامها لحساب حدود المجاميع.

ثانيًا ، يجب أن نفكر في ما يجب فعله إذا تقارب التعبير إلى حدود مختلفة لاختيارات مختلفة لـ ({x ^ ∗ _ i}. ) لحسن الحظ ، لم يحدث هذا. على الرغم من أن الإثبات خارج نطاق هذا النص ، يمكن إثبات أنه إذا كان (f (x) ) مستمرًا في الفترة المغلقة ([a، b] ) ، إذن ( displaystyle lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx ) موجود وفريد ​​(بمعنى آخر ، لا يعتمد على اختيار ({x ^ ∗ _ i} )).

سنلقي نظرة على بعض الأمثلة بعد قليل. ولكن ، قبل أن نفعل ذلك ، دعنا نتوقف لحظة ونتحدث عن بعض الخيارات المحددة لـ ({x ^ ∗ _ i} ). على الرغم من أن أي اختيار لـ ({x ^ ∗ _ i} ) يعطينا تقديرًا للمنطقة الواقعة تحت المنحنى ، إلا أننا لا نعرف بالضرورة ما إذا كان هذا التقدير مرتفعًا جدًا (مبالغة في التقدير) أو منخفضًا جدًا (أقل من التقدير). إذا كان من المهم معرفة ما إذا كان تقديرنا مرتفعًا أم منخفضًا ، فيمكننا تحديد قيمة ({x ^ ∗ _ i} ) لضمان نتيجة أو أخرى.

إذا أردنا تقديرًا مبالغًا فيه ، على سبيل المثال ، يمكننا اختيار ({x ^ ∗ _ i} ) مثل ذلك لـ (i = 1،2،3 ، ... ، n ، ) (f (x ^ ∗ _ i) ≥f (x) ) للجميع (x∈ [x_i − 1، x_i] ). بمعنى آخر ، نختار ({x ^ ∗ _ i} ) بحيث يكون (i = 1،2،3 ، ... ، n ، ) (f (x ^ ∗ _ i) ) هو الحد الأقصى للدالة القيمة على الفاصل ([x_ {i − 1}، x_i] ). إذا حددنا ({x ^ ∗ _ i} ) بهذه الطريقة ، فإن Riemann sum ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx ) يسمى المبلغ العلوي. وبالمثل ، إذا أردنا تقديرًا أقل من الواقع ، فيمكننا اختيار ({x ∗ i} ) بحيث يكون ذلك لـ (i = 1،2،3 ، ... ، n ، ) (f (x ^ ∗ _ i) ) هي أدنى قيمة للدالة في الفترة ([x_ {i − 1}، x_i] ). في هذه الحالة ، يسمى مجموع ريمان المرتبط a مبلغ أقل. لاحظ أنه إذا كان (f (x) ) يتزايد أو يتناقص خلال الفاصل الزمني ([a، b] ) ، فإن قيم الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة تحدث عند نقاط نهاية الفترات الفرعية ، وبالتالي المجاميع السفلية هي نفس تقريب نقطتي النهاية اليمنى واليسرى.

مثال ( PageIndex {5} ): البحث عن المجموع الأدنى والأعلى

ابحث عن مجموع أقل لـ (f (x) = 10 − x ^ 2 ) في ([1،2] ) ؛ السماح (n = 4 ) فترات فرعية.

حل

مع (n = 4 ) عبر الفاصل ([1،2] ، ، Δx = dfrac {1} {4} ). يمكننا سرد الفواصل الزمنية كـ ([1،1.25] ، ، [1.25،1.5] ، ، [1.5،1.75] ، ) و ([1.75،2] ). نظرًا لأن الوظيفة تتناقص خلال الفاصل الزمني ([1،2] ، ) يوضح الشكل أنه يتم الحصول على مجموع أقل باستخدام نقاط النهاية اليمنى.

مجموع ريمان هو

[ start {align *} sum_ {k = 1} ^ 4 (10 − x ^ 2) (0.25) & = 0.25 [10− (1.25) ^ 2 + 10− (1.5) ^ 2 + 10− ( 1.75) ^ 2 + 10− (2) ^ 2] [4pt]
& = 0.25 [8.4375 + 7.75 + 6.9375 + 6] [4pt]
& = 7.28 ، text {Units} ^ 2. end {align *} ]

مساحة (7.28 ) ( text {Units} ^ 2 ) هي مجموع أقل وأقل من الواقع.

تمرين ( PageIndex {5} )

  1. ابحث عن مجموع أكبر لـ (f (x) = 10 − x ^ 2 ) في ([1،2] ) ؛ اسمحوا (n = 4. )
  2. ارسم التقريب.
تلميح

(f (x) ) يتناقص في ([1،2] ) ، لذلك تحدث قيم الدالة القصوى عند نقاط النهاية اليسرى للفترات الفرعية.

إجابه

أ. المجموع العلوي = (8.0313 ، نص {وحدات} ^ 2. )

ب.

مثال ( PageIndex {6} ): إيجاد المجموع السفلي والعلوي لـ (f (x) = sin x )

ابحث عن مجموع أقل لـ (f (x) = sin x ) على الفاصل ([a، b] = left [0، frac {π} {2} right] ) ؛ اسمحوا (n = 6. )

حل

دعنا نلقي أولاً نظرة على الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {14} ) للحصول على فكرة أفضل عن مجال الاهتمام.

الفواصل الزمنية هي ( left [0، frac {π} {12} right]، ، left [ frac {π} {12}، frac {π} {6} right]، ، left [ frac {π} {6} ، frac {π} {4} right] ، ، left [ frac {π} {4} ، frac {π} {3} right] ، ، left [ frac {π} {3} ، frac {5π} {12} right] ) ، و ( left [ frac {5π} {12} ، frac {π} {2 }حق]). لاحظ أن (f (x) = sin x ) يتزايد على الفاصل ( left [0، frac {π} {2} right] ) ، لذا فإن تقريب نقطة النهاية اليسرى يعطينا القيمة الأدنى مجموع. تقريب نقطة النهاية اليسرى هو مجموع Riemann ( sum_ {i = 0} ^ 5 sin x_i left ( tfrac {π} {12} right) ). لدينا

[A≈ sin (0) left ( tfrac {π} {12} right) + sin left ( tfrac {π} {12} right) left ( tfrac {π} {12 } right) + sin left ( tfrac {π} {6} right) left ( tfrac {π} {12} right) + sin left ( tfrac {π} {4} يمين) يسار ( tfrac {π} {12} right) + sin left ( tfrac {π} {3} right) left ( tfrac {π} {12} right) + sin يسار ( tfrac {5π} {12} يمين) يسار ( tfrac {π} {12} right) حوالي 0.863 ، نص {وحدات} ^ 2. لا يوجد رقم]

تمرين ( PageIndex {6} )

باستخدام الدالة (f (x) = sin x ) على الفاصل ( left [0، frac {π} {2} right]، ) ابحث عن مجموع أعلى ؛ اسمحوا (n = 6. )

تلميح

اتبع الخطوات من مثال ( PageIndex {6} ).

إجابه

(A≈1.125 ، نص {وحدات} ^ 2 )

المفاهيم الرئيسية

  • استخدام تدوين سيجما (التجميع) للنموذج ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ na_i ) مفيد للتعبير عن مجاميع طويلة من القيم في شكل مضغوط.
  • لوظيفة مستمرة محددة خلال فترة ([أ ، ب] ، ) عملية تقسيم الفاصل الزمني إلى (n ) أجزاء متساوية ، وتوسيع مستطيل للرسم البياني للدالة ، وحساب مناطق سلسلة المستطيلات ، ثم جمع المساحات ينتج عنه تقريب لمساحة تلك المنطقة.
  • عند استخدام قسم عادي ، يكون عرض كل مستطيل (Δx = dfrac {b − a} {n} ).
  • مبالغ ريمان هي تعبيرات من النموذج ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx، ) ويمكن استخدامها لتقدير المساحة الواقعة أسفل المنحنى (y = f (x). ) تعد تقريب نقطة النهاية اليمنى واليسرى أنواعًا خاصة من مجموع Riemann حيث يتم اختيار قيم ({x ^ ∗ _ i} ) لتكون نقاط النهاية اليسرى أو اليمنى للفترات الفرعية ، على التوالي.
  • تتيح مجاميع Riemann قدرًا كبيرًا من المرونة في اختيار مجموعة النقاط ({x ^ ∗ _ i} ) التي يتم من خلالها تقييم الوظيفة ، غالبًا مع الحرص على الحصول على مجموع أقل أو مبلغ أعلى.

المعادلات الرئيسية

  • خصائص تدوين سيجما

[ start {align *} sum_ {i = 1} ^ nc & = nc [4pt]
sum_ {i = 1} ^ nca_i & = c sum_ {i = 1} ^ na_i [4pt]
sum_ {i = 1} ^ n (a_i + b_i) & = sum_ {i = 1} ^ na_i + sum_ {i = 1} ^ nb_i [4pt]
sum_ {i = 1} ^ n (a_i − b_i) & = sum_ {i = 1} ^ na_i− sum_ {i = 1} ^ nb_i [4pt]
sum_ {i = 1} ^ na_i & = sum_ {i = 1} ^ ma_i + sum_ {i = m + 1} ^ na_i end {align *} ]

  • مبالغ وصلاحيات الأعداد الصحيحة

[ sum_ {i = 1} ^ ni = 1 + 2 + ⋯ + n = dfrac {n (n + 1)} {2} nonumber ]

[ sum_ {i = 1} ^ ni ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ⋯ + n ^ 2 = dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} non Number ]

[ sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + ⋯ + n ^ 3 = dfrac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2} {4} non Number ]

  • تقريب نقطة النهاية اليسرى

(A≈L_n = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + ⋯ + f (x_ {n − 1}) Δx = displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x_ {i − 1}) Δx )

  • تقريب نقطة النهاية اليمنى

(A≈R_n = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + ⋯ + f (x_n) Δx = displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) Δx)

قائمة المصطلحات

تقريب نقطة النهاية اليسرى
تقريب للمساحة الواقعة أسفل منحنى محسوبة باستخدام نقطة النهاية اليسرى لكل فاصل زمني فرعي لحساب ارتفاع الجوانب الرأسية لكل مستطيل
مبلغ أقل
مبلغ تم الحصول عليه باستخدام الحد الأدنى لقيمة (f (x) ) في كل فترة فرعية
تقسيم
مجموعة من النقاط التي تقسم الفاصل الزمني إلى فترات فرعية
قسم عادي
قسم يكون فيه كل الفترات الفرعية بنفس العرض
ريمان سوم
تقدير للمساحة الواقعة أسفل منحنى النموذج (A≈ displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx )
تقريب نقطة النهاية اليمنى
تقريب نقطة النهاية اليمنى هو تقريب لمساحة المستطيلات تحت منحنى باستخدام نقطة النهاية اليمنى لكل فترة فرعية لإنشاء الجوانب الرأسية لكل مستطيل
تدوين سيجما
(أيضا، تدوين الجمع) يشير الحرف اليوناني سيجما ( (Σ )) إلى إضافة القيم ؛ تشير قيم الفهرس أعلى وأسفل سيجما إلى مكان بدء الجمع وأين ينتهي
المبلغ العلوي
مبلغ تم الحصول عليه باستخدام الحد الأقصى لقيمة (f (x) ) في كل فترة فرعية

المساهمون والسمات

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


مسافة

مسافة هو قياس رقمي لمدى تباعد الأشياء أو النقاط. في الفيزياء أو الاستخدام اليومي ، قد تشير المسافة إلى الطول المادي أو التقدير بناءً على معايير أخرى (مثل "مقاطعتان"). يُشار أحيانًا إلى المسافة من النقطة A إلى النقطة B على أنها | أ ب | . [1] في معظم الحالات ، "المسافة من أ إلى ب" قابلة للتبادل مع "المسافة من ب إلى أ". في الرياضيات ، تعتبر دالة المسافة أو المقياس تعميمًا لمفهوم المسافة المادية ، وهي طريقة لوصف ما يعنيه أن تكون عناصر في مساحة ما "قريبة من" أو "بعيدة عن" بعضها البعض. في علم النفس والعلوم الاجتماعية ، تعد المسافة مقياسًا غير رقمي تُعرَّف المسافة النفسية على أنها "الطرق المختلفة التي يمكن بها إزالة كائن من" الذات على طول أبعاد مثل "الزمان والمكان والمسافة الاجتماعية والافتراضية. [2 ]


المضلع الرمادي شكل سداسي.

المضلع البرتقالي شكل رباعي.

المضلع الأخضر مثمن.

المضلع البني هو مثلث.

المضلع الأرجواني مربع.

المضلع الوردي مثلث.

المضلع الأزرق مستطيل.

المضلع الأصفر هو شكل خماسي.

توجد طرق عديدة للعثور على مناطق المضلعات. طريقة واحدة هي تقسيم كل واحد إلى مثلثات ومستطيلات. إليك طريقة واحدة للقيام بذلك:

تبلغ مساحة المضلع الرمادي 7 وحدات مربعة.

تبلغ مساحة المضلع البرتقالي 28.5 وحدة مربعة.

تبلغ مساحة المضلع الأخضر 7 وحدات مربعة.

تبلغ مساحة المضلع البني 7 وحدات مربعة.

تبلغ مساحة المضلع الأرجواني 9 وحدات مربعة.

تبلغ مساحة المضلع الوردي 6 وحدات مربعة.

تبلغ مساحة المضلع الأزرق 15 وحدة مربعة.

تبلغ مساحة المضلع الأصفر 19.5 وحدة مربعة.


  • أوراق عمل الأرقام الأولية والمركبة (موضوع الهالوين)
  • أوراق عمل مثل الكسور (CoVid-19 تحت عنوان)
  • أوراق عمل مقارنة الكسور (رأس السنة و 8217 يوم تحت عنوان)
  • أوراق عمل طرح الكسور المتشابهة (موضوع السنة الصينية الجديدة)
  • أوراق عمل تحويل الكسور إلى أعداد عشرية (ذات طابع شتوي)
  • الكسور في أوراق عمل خط الأعداد (موضوع الصيف)
  • أوراق عمل العوامل والمضاعفات (الأعمار من 8 إلى 10 سنوات) (الفضاء تحت عنوان)
  • أوراق عمل الكسور المتكافئة (الأعمار من 7 إلى 9 سنوات) (وجبات خفيفة تحت عنوان)
  • جمع وطرح الكسور المتشابهة والأرقام المختلطة مع مسائل الكلمات (ذات المقامات 8 ، 10 ، 12 ، 100)
  • الأرقام الزوجية والفردية (للأعمار من 6 إلى 8 سنوات) أوراق عمل (موضوع عيد العمال)
  • أوراق عمل طرح كثيرات الحدود (الأعمار 11-13) (موضوع الصحة)
  • أوراق عمل إضافة الجذور (الأعمار من 12 إلى 14 عامًا) (عيد الحب تحت عنوان)
  • أوراق عمل إضافة التعبيرات الجذرية (الأعمار 12-14) (عيد القديس باتريك & # 8217s تحت عنوان)
  • أوراق عمل إضافة تنطوي على نقود (الأعمار من 7 إلى 8 سنوات) (موضوع سوبر ماركت)
  • أوراق جمع الأعداد الكسرية (للأعمار من 10 إلى 11 عامًا) (موضوع الطيران)
  • أوراق عمل طرح التعبيرات الجبرية (الأعمار 12-14) (موضوع 4 يوليو)
  • أوراق عمل إضافة وظائف (الأعمار من 12 إلى 14 عامًا) (موضوع المهرجان)
  • أوراق عمل إضافة الكسور غير الصحيحة (الأعمار من 9 إلى 10 سنوات) (موضوع الجمعة السوداء)
  • أوراق عمل إضافة متعددات الحدود (الأعمار من 11 إلى 13 عامًا) (موضوع اليوم العالمي للمرأة # 8217)
  • أوراق عمل إضافة التعبيرات الجبرية (الأعمار 12-14) (موضوع يوم الأرض)
  • أوراق عمل إضافة الكسور الصحيحة (الأعمار من 9 إلى 10 سنوات) (موضوع يوم الانتخابات)
  • تطبيق مفهوم الإحصاء الاستدلالي (تقدير المعلمات) أوراق العمل
  • مقارنة القياس باستخدام أوراق عمل وحدة النظام الدولي للوحدات
  • حل أوراق عمل الكسور العشرية المتعددة الأرقام
  • أدوات قياس مختلفة لأوراق عمل الطول
  • حل مشاكل الكلمات التي تتضمن حجم أوراق عمل الأسطوانات والأقماع والمجالات
  • أوراق عمل ضرب الكسور بأعداد صحيحة في مسائل الكلمات (بمقامات من 2 إلى 6)
  • قياس أوراق عمل الرسم البياني للصور والرسم البياني الشريطي
  • أوراق عمل تحديد الأنماط الحسابية للأرقام
  • حل مشاكل الكلمات التي تتضمن أوراق عمل الأعداد المنطقية

تعد Helping with Math أحد أكبر مزودي أوراق عمل ومولدات الرياضيات على الإنترنت. نحن نقدم أوراق عمل رياضية عالية الجودة لأكثر من 10 ملايين معلم ومدرس منزلي كل عام.


المسافة بين نقطتين حاسبة

تُحسب المسافة بين نقطتين في مستوٍ بإحداثيات 2 (x1، ذ1) و (x2، ذ2). فقط أدخل قيم الإحداثيات في هذه المسافة بين آلة حاسبة نقطتين لإيجاد المسافة بينهما.

Distance between two points in a plane is calculated with the 2 coordinates (x1، ذ1) and (x2,y2). Just enter the coordinate values in this distance between two points calculator to find its distance.

Formula:

The distance formula is derived from the Pythagorean theorem. The given distance between two points calculator is used to find the exact length between two points (x1, y1) and (x2, y2) in a 2d geographical coordinate system.

Draw a right-angled triangle with the line formed by the points, the distance between the two points can be calculated by finding the horizontal (x2 - x1) and vertical distances (y2 - y1).

The distance between two points calculation formula is similar to the right triangle rule, where the squared hypotenuse is equal to the sum of the squares of the other two sides. Provide the x1, y1, x2 and y2 values to find the distance using this distance between two points calculator.


1. Distance Formula

See more about Descartes in Functions and Graphs.

We have a right-angled triangle with hypotenuse length ج, as shown:

Recall Pythagoras' Theorem, which tells us the length of the longest side (the hypotenuse) of a right triangle:

We use this to find the distance between any two points (x1, y1) and (x2, y2) on the cartesian (x-y) plane:

The point ب (x2, y1) is at the right angle. We can see that:

  • The distance between the points أ(x1, y1) و ب(x2, y1) is simply x2 &minus x1 و
  • The distance between the points C(x2, y2) و ب(x2, y1) is simply y2 &minus y1.

Using Pythagoras' Theorem we can develop a formula for the distance د.


Math Insight

Here's a quick sketch of how to calculate the distance from a point $P=(x_1,y_1,z_1)$ to a plane determined by normal vector $vc=(A,B,C)$ and point $Q=(x_0,y_0,z_0)$. The equation for the plane determined by $vc$ and $Q$ is $A(x-x_0)+B(y-y_0) +C(z-z_0) = 0$, which we could write as $Ax+By+Cz+D=0$, where $D=-Ax_0-By_0-Cz_0$.

This applet demonstrates the setup of the problem and the method we will use to derive a formula for the distance from the plane to the point $P$.

Applet loading

Distance from point to plane. A sketch of a way to calculate the distance from point $color

$ (in red) to the plane. The vector $color>$ (in green) is a unit normal vector to the plane. You can drag point $color

$ as well as a second point $vc$ (in yellow) which is confined to be in the plane. Although the vector $color>$ does not change (as the plane is fixed), it moves with $color

$ to always be at the end of a gray line segment from $color

$ that is perpendicular to the plane. This distance from $color

$ to the plane is the length of this gray line segment. This distance is the length of the projection of the vector from $Q$ to $P$ (in purple) onto the normal vector $color>$.

The shortest distance from a point to a plane is along a line perpendicular to the plane. Therefore, the distance from point $P$ to the plane is along a line parallel to the normal vector, which is shown as a gray line segment. If we denote by $R$ the point where the gray line segment touches the plane, then $R$ is the point on the plane closest to $P$. The distance from $P$ to the plane is the distance from $P$ to $R$.

To calculate an expression for this distance in terms of the above quantities defining $P$ and the plane, we first calculate an expression for a unit normal vector $vc$, i.e., a normal vector of length one. It is simply $vc$ divided by its length: egin vc = frac><|vc|> = frac<(A,B,C)>>. نهاية The unit normal vector $vc$ (in green) looks short because in the figure, the $x$, $y$, and $z$ axes each extend from $-5$ to 5.

Let $vc$ be the vector from $Q$ to $P$ (shown in blue). Since $P=(x_1,y_1,z_1)$ and $Q=(x_0,y_0,z_0)$, we calculate that $vc = (x_1-x_0, y_1-y_0, z_1-z_0)$. The length of the gray line, i.e., the distance from $P$ to the plane, is simply the length of the projection of $vc$ onto the unit normal vector $vc$. Since $vc$ is length one, this distance is simply the absolute value of the dot product $vc cdot vc$. We'll label the distance $d$ it is egin d &= | vc cdot vc | otag &= | (x_1-x_0, y_1-y_0, z_1-z_0) cdot vc | otag &= frac<| A(x_1-x_0) +B(y_1-y_0) +C(z_1-z_0)|>>. نهاية This distance is shown on the cyan slider labeled by $d$ to the right of the figure.

Recall that we can also write the equation for the plane as $Ax+By+Cz+D=0$, with $D=-Ax_0-By_0-Cz_0$. We'll substitute into the above formula, to arrive at the following expression for the distance from $P=(x_1,y_1,z_1)$ to the plane $Ax+By+Cz+D=0$: egin d = frac<|Ax_1+By_1+Cz_1 +D|>>. نهاية From this final formula, you can see that the distance didn't depend on the point $Q=(x_0,y_0,z_0)$. As long as $Q$ is in the plane $Ax+By+Cz+D=0$, then we know that $D=-Ax_0-By_0-Cz_0$. The two above formulas for $d$ are equivalent no matter where in the plane $Q$ is. It's clear from the figure how the distance $d$ shouldn't change as you move $Q$ around in the plane. The vector $vc$ changes, but its projection onto $vc$ is constant.

You can see an example of using this formula to calculate the distance from a point to a plane.


Select a starting unit for the Length or Distance conversion:

This table provides a summary of the Length or Distance units within their respective measurement systems.

Unit Symbol Measurement System Description
بوصة in or " US Customary Units/Imperial System 36 inches = 1 yard
قدم ft or ' US Customary Units/Imperial System 1 foot = 12 inches
ياردات yd US Customary Units/Imperial System 1 yard = 3 feet
miles mi US Customary Units/Imperial System 1 mile = 1760 yards or 5280 feet
picometers pm Metric System 1 m = 1,000,000,000,000 pm
nanometers nm Metric System 1 m = 1,000,000,000 nm
micrometers &mum Metric System 1 m = 1,000,000 &mum
millimeters mm Metric System 1 m = 1,000 mm
centimeters سم Metric System 1 m = 100 cm
decimeters dm Metric System 1 m = 10 dm
أمتار م Metric System base unit
decameters dam or dkm Metric System 1 dam = 10 m
hectometers hm Metric System 1 hm = 100 m
كيلومترات km Metric System 1 km = 1,000 m
megameters Mm Metric System 1 Mm = 1,000,000 m
gigameters Gm Metric System 1 Gm = 1,000,000,000 m
nautical miles M or NM or nmi Non-SI (International) 1 nmi = 1,852 meters
angstroms Å Non-SI (International) 10,000,000,000 Å = 1 m
rods عصا Non-SI (International) 320 rods = 1 mile

ملحوظة: For Length and Distance conversions, US Customary Units and the Imperial System are equivalent.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


Projections and distances

We've now spent some time talking about projections and distances. This is an attempt to summarize that in some way or another. Recall how we found the vector projection of a vector ب onto a vector أ (figure 1, to the right): we said that the length of the projection is |ب| cos(theta), and so, because

Next consider the other (unlabeled) vector in the figure. هذا ال orthogonal projection من ب على أ, and its length is (hopefully obviously) |ب| sin(theta). Recalling that

Points and Lines

Now, suppose we want to find the distance between a point and a line (top diagram in figure 2, below). That is, we want the distance د from the point ص to the line إل. The key thing to note is that, given some other point س on the line, the distance د is just the length of the orthogonal projection of the vector QP onto the vector الخامس that points in the direction of the line! That is, we notice that the length د = |QP| sin(theta), where theta is the angle between QP و الخامس. وبالتالي

Let's do an example. Suppose we want to know the distance between the point ص = (1,3,8) and the line x(ر) = -2 + ر, y(ر) = 1 - 2ر, ض(ر) = -3 - ر. We need some point ("س") on the line&mdashlet's take the point (-2, 1, -3). Then a vector from this point on the line to the point ص is . This is the vector QP in the figure. We want the length د، الذي

Points and Planes

Ok, how about the distance from a point to a plane? We'll do the same type of thing here. Consider the lower diagram in figure 2. Here we're trying to find the distance د between a point ص and the given plane. Again, finding any point on the plane, س, we can form the vector QP, and what we want is the length of the projection of this vector onto the normal vector to the plane. But this is really easy, because given a plane we know what the normal vector is. So we can say

An example: find the distance from the point ص = (1,3,8) to the plane x - 2y - ض = 12. We need a point on the plane. همم. There sure are a lot of them to choose from. :) Let's pick something easy: I'll pick x = 3, y = -3 and ض = -3. (Why? Just because they have to satisfy the equation x - 2y - ض = 12, and I was picking numbers to try and keep x, y و ض moderately small.) Then our point س = (3,-3,-3). A vector from the plane to ص هو QP = , so

Why did we use the angle theta opposite the component of the vector giving the distance in the case of the line, and the angle adjacent for the plane? It all has to do with what we know: in the case of the line, we already know the vector that points along the line, so if we start doing dot or cross products with this vector, the angle that's involved will be the angle we used. Similarly for a plane, the vector associated with the plane that we know is the normal, so we're interested in angles from this vector to other vectors.


شاهد الفيديو: قياس المساحات - درس رياضيات مستوى الخامس ابتدائي (شهر اكتوبر 2021).